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$\begin{align} \sin2\alpha&=2\sin\alpha\cos\alpha\\ &=2\sin^2(\alpha+\frac{\pi}{4})-1\\ &=1-2\cos^2(\alpha+\frac{\pi}{4})\\ \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha-1\\ &=1-2\sin^2\alpha\\ &=2\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})\\ \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\\ \end{align}\\$

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